Question

18．对于函数f（x）=lg$\frac{1+{2}^{x}+{4}^{x}•a}{3}$，若f（x）在（-∞，1）上有意义，求a的取值范围．

Answer 1

分析 要使f（x）在（-∞，1）上有意义，则$\frac{1+{2}^{x}+{4}^{x}•a}{3}$＞0，即2^x+a•4^x＞-1，构造二次函数求解，利用最值求解．

解答 解：要使f（x）在（-∞，1）上有意义，即x∈（-∞，1）上2^x+a•4^x＞-1．
设2^x=t（0＜t＜2），则有：f（t）=a•t²+t+1＞0．
当a=0时，f（t）=t+1＞0，（0＜t＜2）恒成立．
故a=0．
当a＞0时，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}＞2}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0≤-\frac{b}{2a}≤2}\\{△＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}＜0}\\{f（0）＞0}\end{array}\right.$
解得：$-\frac{3}{4}$＜$a＜-\frac{1}{4}$或$-\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{4}，a≠0$，或a＞0
∴a＞0
当a＜0时，$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，
解得：$-\frac{3}{4}＜a$
∵x∈（-∞，1）取不到1，故a=$-\frac{3}{4}$．
综上所述：a的取值范围在[$-\frac{3}{4}，+∞$）
解法二：分离参数
要使f（x）在（-∞，1）上有意义，即x∈（-∞，1）上2^x+a•4^x+1＞0．
设f（2^x）=2^x+a•（2^x）²+1＞0．（0＜2^x＜2），
分离化简：a＞$-（\frac{1}{{2}^{x}}）^{2}-（\frac{1}{{x}^{2}}）$
∵$-（\frac{1}{{2}^{x}}）^{2}-（\frac{1}{{x}^{2}}）$增函数，∴（-∞，1）上的最大值小于$-\frac{3}{4}$．
所以：$-\frac{3}{4}≤a$
综上所述：a的取值范围在[$-\frac{3}{4}，+∞$）

点评 本题考查对数函数的性质的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．