Question

（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，椭圆过点和点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点在椭圆上，为椭圆的左焦点，直线的方程为.

（i）求证：直线与椭圆有唯一的公共点；

（ii）若点关于直线的对称点为，探索：当点在椭圆上运动时，直线是否过定点?若过定点，求出此定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）（i）详见解析；（ii）定点坐标为.

【解析】

试题分析：（1）根据题意，将和点分别代入椭圆方程，即可得到关于，的方程组：，，从而可以解得，，即椭圆的方程为；（2）（ii）分析题意可知，要证直线与椭圆只有一个公共点，等价于将直线方程与椭圆方程联立所得的方程组只有唯一的解，因此考虑将方程联立，化简变形可得，易知其，从而得证；（ii）由题意可知为线段的中垂线，因此利用线段与直线垂直以及线段的中点在直线上可求得点的坐标为，以下需分类讨论列出直线的解析式：当时，直线的斜率，直线的方程为，即，直线过定点，当时，，此时，直线过点，即可证明直线恒过定点.

试题解析：（1）∵，且，∴，，∴椭圆的方程为.

（2）（i）联立方程组，整理为…①，

∵在椭圆上，∴，即，∴方程①为，即，∴直线与椭圆有唯一的公共点； （ii）∵，∴过点且与垂直的直线方程为，

∵联立方程组，∴，∵，且，∴点坐标为，当时，直线的斜率，

∵直线的方程为，即，∴直线过定点，

当时，，此时，直线过点，综上所述，直线过定点．

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线中的对称问题.