Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．
（1）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，且c=1，F（x）=求F（2）+F（-2）的值；
（2）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]恒成立，试求b的取值范围．

Answer 1

解：（1）由已知c=1，f（-1）=a-b+c=0，且-=-1，解得a=1，b=2．
∴f（x）=（x+1）²．
又F（x）=，
∴F（2）+F（-2）=（2+1）²+[-（-2+1）²]=8．
（2）由题知f（x）=x²+bx，原命题等价于-1≤x²+bx≤1在x∈（0，1]恒成立，即b≤-x且b≥--x在x∈（0，1]恒成立，
根据单调性可得-x的最小值为0，
--x的最大值为-2，
所以-2≤b≤0．
分析：（1）由于函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）是开口向上的二次函数，利用二次函数性质可以求出a，b的值，再有F（x）求F（2）+F（-2）的值；
（2）由于函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），且=1，c=0，所以f（x）=x²+bx，进而在满足|f（x）|≤1在区间（0，1]恒成立时，求出即可．
点评：此题考查了由题意建立方程解出未知的变量，还考查了二次函数的对称轴及最小值，还有函数在定义域下恒成立及函数单调性求最值．