Question

3．已知平面四边形ABCD中，AB=8，BC=5，CD=3，AD=5，A+C=180°．
（Ⅰ）求角A和BD；
（Ⅱ）求平面四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理解三角形ABD和BCD，求出BD，结合内角和求角A；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，C=120°利用分割法求面积．

解答 解：（Ⅰ）在△ABD中，由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cosA，
即BD²=89-80cosA，①…（2分）
在△BCD中，由余弦定理得BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cosC，
即BD²=34-30cosC，②…（4分）
又A+C=180°，所以cosC=-cosA，③，
由①②③，解得cosA=$\frac{1}{2}$，又A∈（0，π），所以A=$\frac{π}{3}$，…（6分）
将A=$\frac{π}{3}$，代入①，解得BD=7．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，C=120°，
四边形ABCD的面积S=S_△ABD+S_△BCD
=$\frac{1}{2}$•AB•AD•sinA+$\frac{1}{2}$•BC•CD•sinC…（10分）
=$\frac{1}{2}$×8×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×5×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{55\sqrt{3}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查了余弦定理的运用解三角形以及求三角形的面积；考查了学生的计算能力．