Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点作两条互相垂直的直线，且分别交椭圆于，求四边形面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）求得椭圆的焦点坐标，连接，由垂直平分线的性质可得，运用抛物线的定义，即可得到所求轨迹方程；（2）分类讨论：当或中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时，此时四边形面积．当直线和的斜率都存在时，不妨设直线的方程为，则直线的方程为．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得，．利用四边形面积即可得到关于斜率的式子，再利用配方和二次函数的最值求法，即可得出．

试题解析：解：（1）∵，∴点到定直线：的距离等于它到定点的距离，∴点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线．

∴点的轨迹的方程为．

（2）当直线的斜率存在且不为零时，直线的斜率为，，，则直线的斜率为，直线的方程为，联立，得．

∴，．

．由于直线的斜率为，用代换上式中的。可得．

∵，∴四边形的面积．

由于，∴，当且仅当，即时取得等号．

易知，当直线的斜率不存在或斜率为零时，四边形的面积．

综上，四边形面积的最小值为．