Question

【题目】已知数列{an}共有2k项（），数列{an}的前n项和为Sn，满足：a1 = 2，an1 = (p 1) Sn 2（n = 1，2，…， 2k1），其中常数p > 1．

（1）求证：数列{an}是等比数列；

（2）若，数列{bn }满足（n = 1，2，…， 2k），求数列

{bn }的通项公式；

（3）对于（2）中数列{bn }，求和Tn = ．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）

【解析】试题分析：（1）先根据关系 得递推关系式： ，再根据等比数列定义得证（2）先根据等比数列通项公式得an = a1p n 1．代入条件，利用指数性质化简得 ．（3）关键取绝对值，因为，所以当n≤k时， ；当n≥k1时， ．再分别按等差数列求和得结果.

试题解析：解：（1）∵an1 = (p 1)Sn 2（n = 1，2，…， 2k1），

∴an = (p 1)Sn 1 2（n = 2，…， 2k）．

则当n = 2，…， 2k1时，两式相减，得

an1 an = (p 1)（Sn Sn 1），即an1 an = (p 1) an．

∴an1 = pan（n = 2，…， 2k1）．

原式中，令n = 1，得a2 = (p 1)a1 2 = 2 (p 1) 2 = 2p = pa1．

∴an1 = pan，即（n = 1，2，…， 2k1）．

则数列{an}是等比数列．

（2）由（1），得an = a1p n 1．

∴

．

（3）∵，

∴当n≤k时， ；当n≥k1时， ．

则Tn =

=

= =

=．