Question

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N^*都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²+2S_n，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ） 求a₁，a₂；
（Ⅱ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2an，对任意的n∈N^*，都有b_n+1＞b_n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）令n=1，由已知条件推导出a₁=2，令n=2，由已知条件推导出a2 =3．
（2）由a13+a23+a33+…+an3=Sn2+2Sn，得a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12+2Sn-1，两式相减得到an2=Sn+Sn-1+2，由此推导出数列{a_n}是一个以2为首项，1为公差的等差数列，从而能求出数列{a_n}的通项公式．
（3）bn=3n+(-1)n-1λ•2an=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，由已知条件推导出（-1）^n-1λ＜

1

3

•(

3

2

)n，由此能证明-

3

4

＜λ＜

1

2

．

解答： 解：（1）令n=1，则a13=S12+2S1，
即a13=a12+2a1，
∴a1 =2或a₁=-1或a₁=0，
又∵数列{a_n}的各项都是正数，∴a₁=2，
令n=2，则a13+a23=S22+2S2，
即a13+a23=(a1+a2)2+2（a₁+a₂），
解得a₁=3或a₁=-2或a₁=0，
又∵数列{a_n}的各项都是正数，∴a2 =3．
（2）∵a13+a23+a33+…+an3=Sn2+2Sn，①
∴a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12+2Sn-1，（n≥2），②
由①-②得an3=(Sn2+2Sn)-(Sn-1 2+2Sn-1)，
化简得到an2=Sn+Sn-1+2，③
∴an-12=Sn-1+Sn-2+2，(n≥3)，④
由③-④得an2-an-12=(Sn+Sn-1+2)-(Sn-1+Sn-2+2)，
化简得到an2-an-12=an+an-1，即a_n-a_n-1=1（n≥3），
当n=2时，a₂-a₁=1，∴a_n-a_n-1=1，（n≥2），
∴数列{a_n}是一个以2为首项，1为公差的等差数列
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）=n+1．
（3）bn=3n+(-1)n-1λ•2an=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，
∵对任意的n∈N^*，都有b_n+1＞b_n恒成立，
即有3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺²＞3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹．
化简得（-1）^n-1λ＜

1

3

•(

3

2

)n，
当n为奇数时，λ＜

1

3

•(

3

2

)n恒成立，λ＜

1

3

•(

3

2

)=

1

2

，
当n为偶数时，λ＞-

1

3

•(

3

2

)n恒成立，λ＞-

1

3

•(

3

2

)2=-

3

4

，
∴-

3

4

＜λ＜

1

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．