【题目】设函数为偶函数.
(1) 求的值;
(2)若的最小值为
,求
的最大值及此时
的取值;
(3)在(2)的条件下,设函数,其中
.已知
在
处取得最小值并且点
是其图象的一个对称中心,试求
的最小值.
【答案】(1);(2)最大值为
, 此时
的取值为
;(3)
【解析】
(1)根据 是偶函数,转化为
对一切
恒成立求解.
(2)由(1)得到 , 根据
最小值为
, 则
,得到
,然后再求最大值.
(3)由(2)得到,根据
在
处取最小值,点
是其图象的一个对称中心,,由
求解.
(1)因为,
是偶函数,
所以 对一切
恒成立,
所以.
(2)由(1)知 ,
因为其最小值为,
所以 ,
所以,
当时,
取得最大值
, 此时
;
(3)由(2)知:,
,
,
因为在
处取最小值,且点
是其图象的一个对称中心,
所以,
所以,
,
所以,则
,
即,
又因为,
所以,
,
当时,
,
,
在
处取得最大值,不符合题意;
当时,
,
,
在
取不到最小值,,不符合题意;
当时,
,
,
在
处取得最小值,
,
的图象关于点
中心对称,
所以的最小值为
.
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【题目】在平面直角坐标系中,
,
为
,
轴上两个动点,点
在直线
上,且满足
,
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)记点的轨迹为曲线
,
为曲线
与
正半轴的交点,
、
为曲线
上与
不重合的两点,且直线
与直线
的斜率之积为
,试探究
面积的最大值.
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【题目】如图是一个缆车示意图,该缆车的半径为4.8 m,圆上最低点与地面的距离为0.8 m,缆车每60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面的距离为h m.
(1)求h与θ之间的函数解析式;
(2)设从OA开始转动,经过t s达到OB,求h与t之间的函数解析式,并计算经过45 s后缆车距离地面的高度.
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【题目】已知圆,直线
(1)若直线与圆O交于不同的两点A, B,当
时,求k的值.
(2)若k=1,P是直线上的动点,过P作圆O的两条切线PC、PD,切点为C、D,问:直线CD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,说明理由.
(3)若EF、GH为圆的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,
),求四边形EGFH的面积的最大值
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【题目】如图,已知椭圆的长轴为
,过点
的直线
与
轴垂直,椭圆的离心率
,
为椭圆的左焦点,且
.
(Ⅰ)求此椭圆的方程;
(Ⅱ)设是此椭圆上异于
的任意一点,
,
为垂足,延长
到点
使得
.连接
并延长交直线
于点
,
为
的中点,判定直线
与以
为直径的圆
的位置关系.
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【题目】设抛物线的焦点为
,准线为
.已知以
为圆心,半径为4的圆与
交于
、
两点,
是该圆与抛物线
的一个交点,
.
(1)求的值;
(2)已知点的纵坐标为
且在
上,
、
是
上异于点
的另两点,且满足直线
和直线
的斜率之和为
,试问直线
是否经过一定点,若是,求出定点的坐标,否则,请说明理由.
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【题目】半期考试后,班长小王统计了50名同学的数学成绩,绘制频率分布直方图如图所示.
根据频率分布直方图,估计这50名同学的数学平均成绩;
用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名,再在抽取的这6名同学中任选2名,求这两名同学数学成绩均在
中的概率.
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【题目】将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮(如图),并沿虚线l1,l2裁剪成A,B,C三个矩形(B,C全等),用来制成一个柱体.现有两种方案:
方案①:以为母线,将A作为圆柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面;
方案②:以为侧棱,将A作为正四棱柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个正方形(各边分别与
或
垂直)作为正四棱柱的两个底面.
(1)设B,C都是正方形,且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面,求底面半径;
(2)设的长为
dm,则当
为多少时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大?
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