Question

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC═∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥底面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积V；
（2）求二面角E-AC-D的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,作图题,空间位置关系与距离

分析：（1）将平面ABCD单独拿出来求面积，再求体积即可；
（2）取AD、AC的中点F，G，连结EF，FG，EG；从而可得∠EGF为二面角E-AC-D的平面角，在Rt△EFG中求角．

解答： 解：（1）在平面ABCD中，
在Rt△BAC中，
∠ABC═90°，∠BAC=60°，AB=1，
∴BC=

3

，AC=2；
在Rt△DAC中，
∠ACD═90°，∠CAD=60°，AC=2，
∴CD=2

3

，AD=4；
故底面ABCD的面积为S=

1

2

×1×

3

+

1

2

×2×2

3

=

5 3

2

；
V_P-ABCD=

1

3

×S×PA=

1

3

×

5 3

2

×2=

5 3

3

．
（2）如图，取AD、AC的中点F，G，
连结EF，FG，EG；
则EF∥PA，
又∵PA⊥底面ABCD，
∴EF⊥底面ABCD，
又∵FG∥CD，CD⊥AC，
∴FG⊥AC，
∴∠EGF为二面角E-AC-D的平面角，
在Rt△EFG中，
EF=

1

2

PA=1，GF=

1

2

CD=

3

，
∴tan∠EGF=

EF

GF

=

3

3

，
∴∠EGF=30°；
即二面角E-AC-D的大小为30°．

点评：本题考查了学生的空间想象力及计算能力，属于中档题．