Question

12．设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”．已知f（x）=$\frac{1}{12}$x⁴-$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²．若函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b-a的最大值为4．

Answer 1

分析 利用导数的运算法则可得f′（x），f^″（x）．由于函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，可得：在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，解得即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{12}{x}^{4}-\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{3}{2}{x}^{2}$，
∴${f}^{′}（x）=\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}-3x$，
∴f^″（x）=x²-2x-3，
∵函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，
∴在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，
由x²-2x-3＜0，解得-1＜x＜3．
∴a=-1，b=3，
∴b-a=3-（-1）=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了导数的运算法则、“凸函数”的定义，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．