Question

2．已知函数f（x）=|x-a|，其中a＞1．
（1）当a=3时，求不等式f（x）≥4-|x-4|的解集；
（2）若函数h（x）=f（2x+a）-2f（x）的图象与x、y轴围成的三角形面积大于a+4，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）写成分段函数的形式，对x讨论，结合一次不等式的解法，即可得到所求解集；
（2）记h（x）=f（2x+a）-2f（x），运用分段形式，求得h（x），由三角形的面积公式可得a²-2a-8＞0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）当a=3时，f（x）+|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{7-2x，x≤3}\\{1，3＜x＜4}\\{2x-7，x≥4}\end{array}\right.$，
当x≤3时，由f（x）≥4-|x-4|得，7-2x≥4，解得x≤$\frac{3}{2}$；
当3＜x＜4时，f（x）≥4-|x-4|无解；
当x≥4时，f（x）≥4-|x-4|得，2x-7≥4，解得x≥$\frac{11}{2}$．
∴f（x）≥4-|x-4|的解集为{x|x≤$\frac{3}{2}$或x≥$\frac{11}{2}$}．          
（2）记h（x）=f（2x+a）-2f（x），
则h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2a，x≤0}\\{4x-2a，0＜x＜a}\\{2a，x≥a}\end{array}\right.$，
所以S=$\frac{1}{2}$•2a•$\frac{a}{2}$＞a+4，即为a²-2a-8＞0，（a＞1），
解得a＞4．
即有a的取值范围为（4，+∞）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．