Question

8．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a₂=6，且$\frac{{a}_{n+2}+{a}_{n}}{{a}_{n+1}+1}$=2
（1）求a_n
（2）若λn²≥$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$对一切正整数n都成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{a}_{n+2}+{a}_{n}}{{a}_{n+1}+1}$=2，可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，利用等差数列的通项公式可得：a_n+1-a_n，再利用“累加求和”方法、等差数列的前n项和公式即可得出．
（2）由$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{{n}^{2}+n}$≤$\sqrt{2}$，可得$\frac{1}{{n}^{2}}$（$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$）≤$\frac{1}{{n}^{2}}$×$\frac{n（n+1）}{2}\sqrt{2}$=$\frac{n+1}{2n}$$\sqrt{2}$，即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{{a}_{n+2}+{a}_{n}}{{a}_{n+1}+1}$=2，∴（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，
∴数列{a_n+1-a_n}是等差数列，首项为4，公差为2．
∴a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2，
∴n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=[2（n-1）+2]+[2（n-2）+2]+…+（2×1+2）+2=$2×\frac{（n-1）×n}{2}$+2n=n²+n．
n=1时也成立．
∴a_n=n²+n．
（2）∵$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{{n}^{2}+n}$≤$\sqrt{2}$n，
∴$\frac{1}{{n}^{2}}$（$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$）≤$\frac{1}{{n}^{2}}$×$\frac{n（n+1）}{2}\sqrt{2}$=$\frac{n+1}{2n}$$\sqrt{2}$≤$\sqrt{2}$，
∵λn²≥$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$对一切正整数n都成立，
∴λ≥$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．