Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

，求二面角E-PA-B的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：以Q为原点、EA、EB、EP分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-PA-B的正切值．

解答： 解：∵PA=PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
因此，以Q为原点、EA、EB、EP分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
如图所示
则E（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，

3

），B（0，

3

，0），

PA

=（1，0，-

3

），

PB

=（0，

3

，-

3

），
设平面PAB的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • PA =x- 3 z=0 n • PB = 3 y- 3 z=0

，
取x=3，得

n

=（3，

3

，

3

），
平面EPA的法向量

m

=（0，1，0），
设二面角E-PA-B的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

3

9+3+3

|=

5

5

．
∴二面角E-PA-B的正切值为

5

5

．

点评：本题考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．