Question

（Ⅰ）解不等式|2+x|+|2-x|≤4；
（Ⅱ）a，b∈R⁺，证明：a²+b²≥

ab

（a+b）．

Answer 1

考点：不等式的证明,绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用,推理和证明

分析：（Ⅰ）通过对自变量x的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，再解相应的不等式，最后取其并集即可；
（Ⅱ）利用作差法，作差后化积，分析判断证明即可．

解答： 解：（I）∵|2+x|+|2-x|=

-2x，x≤-2 4，-2＜x≤2 2x，x＞2

…（2分），
∴由|2+x|+|2-x|≤4得：

x≤-2 -2x≤4

或

-2＜x≤2 4≤4

或

x＞2 2x≤4

，
解得x=-2或-2＜x≤2，
∴原不等式的解为：-2≤x≤2…（5分）
（II）证明：∵a2+b2-

ab

(a+b)=a2-a

ab

+b2-b

ab

=a

a

(

a

-

b

)+b•

b

(

b

-

a

)
=（

a

-

b

）（a

a

-b

b

）
=（

a

-

b

）（

a

-

b

）（a+

ab

+b）
=(

a

-

b

)2（a+

ab

+b）≥0，
∴a²+b²≥

ab

（a+b）…（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法及不等式的证明，考查分类讨论思想与作差法证明不等式，属于中档题．