Question

7．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的$\sqrt{3}$倍，其上一点到焦点的最短距离为$\sqrt{3}-\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+b与圆$O：{x^2}+{y^2}=\frac{3}{4}$相切，且交椭圆C于A，B两点，求当△AOB的面积最大时，直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意a-c=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，a=$\sqrt{3}$b及a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）利用点到直线的距离公式，求得b²=$\frac{3}{4}$（k²+1），将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，求得丨AB丨的最大值，即可求得直线l的方程．

解答 解：（1）设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）右焦点（c，0），
$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}b}\\{a-c=\sqrt{3}-\sqrt{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，c=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）y=kx+b与圆$O：{x^2}+{y^2}=\frac{3}{4}$相切，则$\frac{丨b丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则b²=$\frac{3}{4}$（k²+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消y得（1+3k²）x²+6kbx+3（b²-1）=0，
又△=12（3k²-b²+1），
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{6kb}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3（{b}^{2}-1）}{1+3{k}^{2}}$，
∴|AB|²=（1+k²）（x₁-x₂）²，=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]，
=（1+k²）[（-$\frac{6kb}{1+3{k}^{2}}$）²-4×$\frac{3（{b}^{2}-1）}{1+3{k}^{2}}$]，
=$\frac{27{k}^{4}+30{k}^{2}+3}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}$=3+$\frac{12{k}^{2}}{9{k}^{2}+6{k}^{2}+1}$，
=（1+k²）×$\frac{36{k}^{2}{b}^{2}-12（{b}^{2}-1）（1+3{k}^{2}）}{（1+3{k}^{2}）^{2}}$=（1+k²）×$\frac{-12{b}^{2}+36{k}^{2}+12}{（1+3{k}^{2}）^{2}}$，
当k=0时，|AB|²=3，
当k≠0时，丨AB丨²=3+$\frac{12}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}$≤3+$\frac{12}{2\sqrt{9{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}+6}$
（当9k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，时“=”成立）
∴|AB|_max=2，
∴（S_△AOB）_max=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，此时b²=1，满足△＞0，
∴直线l的方程y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$±1．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．