精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
过x轴上动点A(a,0)引抛物线y=x2+1的两条切线AP、AQ,P、Q为切点.
(1)若切线AP,AQ的斜率分别为k1和k2,求证:k1•k2为定值,并求出定值;
(2)求证:直线PQ恒过定点,并求出定点坐标;
(3)当
S△APO
PQ
最小时,求
AQ
AP
的值.
(1)设过A(a,0)与抛物线y=x2+1的相切的直线的斜率是k,
则该切线的方程为:y=k(x-a)
y=k(x-a)
y=x2+1
得x2-kx+(ka+1)=0∴△=k2-4(ka+1)=k2-4ak-4=0
则k1,k2都是方程k2-4ak-4=0的解,故k1k2=-4
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2
由于y'=2x,故切线AP的方程是:y-y1=2x1(x-x1
则-y1=2x1(a-x1)=2x1a-2x12=2x1a-2(y1-1)∴y1=2x1a+2,同理y2=2x2a+2
则直线PQ的方程是y=2ax+2,则直线PQ过定点(0,2)
(3)要使
S△APQ
|
PQ
|
最小,就是使得A到直线PQ的距离最小,而A到直线PQ的距离 d=
2a2+2
4a2+1
=
1
2
(
4a2+1+3
4a2+1
)=
1
2
(
4a2+1
+
3
4a2+1
)≥
3

当且仅当
4a2+1
=
3
4a2+1
a2=
1
2
时取等号设P(x1,y1),Q(x2,y2
y=2xa+2
y=x1+1
得x2-2ax-1=0,则x1+x2=2a,x1x2=-1,
AQ
AP
=(x1-a)(x2-a)+y1y2=(x1-a)(x2-a)+(2ax1+2)(2ax2+2)
=(1+4a2)x1x2+3a(x1+x2)+a2+4=-(1+4a2)+3a•2a+a2+4=3a2+3=
9
2
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知直线l:y=3x+2过抛物线y=ax2(a>0)的焦点.
(1)求抛物线方程;
(2)设抛物线的一条切线l1,若l1l,求切点坐标.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设点P在曲线y=x2上,从原点向A(2,4)移动,如果直线OP,曲线y=x2及直线x=2所围成的面积分别记为S1、S2
(Ⅰ)当S1=S2时,求点P的坐标;
(Ⅱ)当S1+S2有最小值时,求点P的坐标和最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

双曲线x2-y2=a2截直线4x+5y=0的弦长为
41
,则此双曲线的实轴长为(  )
A.3B.
3
2
C.
12
5
D.
6
5

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知直线y=x-2与抛物线y2=4x交于A、B两点,则|AB|的值为(  )
A.2
6
B.4
6
C.2
3
D.4
3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴,它的短轴长为2,过焦点与x轴垂直的直线与椭圆C相交于A,B两点且|AB|=1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过定点N(1,0)的直线l交椭圆C于C、D两点,交y轴于点P,若
PC
1
CN
PD
=λ2
DN
,求证:λ12为定值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线y2=8x与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1有公共焦点F,且椭圆过点D(-
2
3
).
(1)求椭圆方程;
(2)点A、B是椭圆的上下顶点,点C为右顶点,记过点A、B、C的圆为⊙M,过点D作⊙M的切线l,求直线l的方程;
(3)过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q,则直线PQ是否经过定点,若是,求出该点坐标,若不经过,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
经过点A(2,1),离心率为
2
2
.过点B(3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求
BM
BN
的取值范围;
(Ⅲ)设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN,求证:kAM+kAN为定值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知曲线C上的动点P到点(1,0)的距离与到定直线L:x=-1的距离相等,
(1)求曲线C的方程;
(2)直线m过(-2,1),斜率为k,k为何值时,直线m与曲线C只有一个公共点,有两个公共点;没有公共点?

查看答案和解析>>

同步练习册答案