Question

1．已知函数f（x）=xlnx+x-k（x-1）在（1，+∞）内有唯一零点x₀，若k∈（n，n+1），n∈Z，则n=3．

Answer 1

分析 求导f′（x）=1+lnx+1-k=lnx+2-k从而分类讨论以确定函数的单调性，从而转化为最值问题求解即可．

解答 解：∵f（x）=xlnx+x-k（x-1），x∈（1，+∞），
∴f′（x）=1+lnx+1-k=lnx+2-k，
当k≤2时，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，且f（x）＞f（1）=1，
∴f（x）在（1，+∞）上没有零点，
当k＞2时，令f′（x）＞0，解得x＞e^k-2，函数f（x）单调递增，
令f′（x）＜0，解得1＜x＜e^k-2，函数f（x）单调递减，
∴f（x）_min=f（e^k-2）=（k-2）e^k-2+e^k-2-ke^k-2+k=-e^k-2+k，
∵f（x）=xlnx+x-k（x-1）在（1，+∞）内有唯一零点x₀，
∴f（x₀）=f（e^k-2）=0，
即-e^k-2+k=0，
令g（k）=-e^k-2+k，k＞2．
∴g′（k）=-e^k-2＜0恒成立，
∴g（k）在（2，+∞）上单调递减，
∵g（3）=-e+3＞0，g（4）=-e²+4＜0，
∴g（3）•g（4）＜0，
∴k∈（3，4），
∵k∈（n，n+1），n∈Z，
∴n=3，
故答案为：3．

点评 本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．