Question

15．如图，已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点A（-2，0），且点（-1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．过点A作斜率为k（k＞0）的直线交椭圆E于另一点B，直线BF₂交椭圆E于点C．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若△CF₁F₂为等腰三角形，求点B的坐标；
（3）若F₁C⊥AB，求k的值．
．

Answer 1

分析 （1）将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）分类讨论，求得C点坐标，设直线BC的方程，即可求得点B的坐标；
（3）设直线AB的方程，代入椭圆方程，即可求得B点坐标，分别求得BF₂及CF₁方程，联立，求得C点坐标，代入椭圆方程，即可求得k的值．

解答 解：（1）由题意得a=2，将（-1，$\frac{3}{2}$）代入椭圆方程$\frac{1}{4}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1$，解得：b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆E的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；     …（4分）
（2）由△CF₁F₂为等腰三角形，且k＞0，则点C在x轴下方，
1° 若丨F₁C丨=丨F₂C丨，则C（0，-$\sqrt{3}$）；
2° 若丨F₁F₂丨=丨CF₂丨，则丨CF₂丨=2，C（0，-$\sqrt{3}$）；
3° 若丨F₁C丨=丨F₁F₂丨，则丨CF₁丨=2，C（0，-$\sqrt{3}$）；
∴C（0，-$\sqrt{3}$）；
∴直线BC的方程y=$\sqrt{3}$（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{3\sqrt{3}}{5}}\end{array}\right.$，
∴B（$\frac{8}{5}$，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$）；（不讨论扣2分）                             …（9分）
（3）设直线AB的方程l_AB：y=k（x+2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
∴x_A•x_B=-2x_B=$\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，x_B=$\frac{-8{k}^{2}+6}{3+4{k}^{2}}$，
y_B=k（x_B+2）=$\frac{12k}{3+4{k}^{2}}$，B（$\frac{-8{k}^{2}+6}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{12k}{3+4{k}^{2}}$ ）             …（11分）
若k=$\frac{1}{2}$，则B（1，$\frac{3}{2}$），C（1，-$\frac{3}{2}$），
由F₁（-1，0），则${k}_{C{F}_{1}}$=-$\frac{3}{4}$，F₁C与AB不垂直；
∴$k≠\frac{1}{2}$，
由F₂（1，0），${k}_{B{F}_{1}}$=$\frac{4k}{1-4{k}^{2}}$，${k}_{C{F}_{1}}$=-$\frac{1}{k}$，
∴直线BF₂的方程${l_{B{F_2}}}：y=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}（x-1）$，直线CF₁的方程：${l_{C{F_1}}}：y=-\frac{1}{k}（x+1）$
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4k}{1-4{k}^{2}}（x-1）}\\{y=-\frac{1}{k}（x+1）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=8{k^2}-1\\ y=-8k\end{array}\right.$，
∴C（8k²-1，-8k）…（13分）
又点C在椭圆上得$\frac{{{{（8{k^2}-1）}^2}}}{4}+\frac{{{{（-8k）}^2}}}{3}=1$，即（24k²-1）（8k²+9）=0，即${k^2}=\frac{1}{24}$，∵k＞0，
∴$k=\frac{{\sqrt{6}}}{12}$..…（16分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查分类讨论，考查计算能力，属于中档题．