Question

4．已知向量$\vec a=（sinx，-1），\vec b=（\sqrt{3}cosx，-\frac{1}{2}）$，函数$f（x）=（{\vec a+\vec b}）•\vec a-1$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若$f（\frac{A}{2}）=\frac{3}{2}$，a=2，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合数量积的坐标运算得到f（x），降幂后利用辅助角公式化简，由复合函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由$f（\frac{A}{2}）=\frac{3}{2}$求得角A，再由余弦定理结合基本不等式求得求b+c的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=（{\vec a+\vec b}）•\vec a-1$=$（{sinx+\sqrt{3}cosx}）sinx+（{-\frac{3}{2}}）•（{-1}）-1$
=${sin^2}x+\sqrt{3}sinxcosx+\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}（{1-cos2x}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}$=$sin（{2x-\frac{π}{6}}）+1$．
∴$f（x）=sin（{2x-\frac{π}{6}}）+1$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，得$-\frac{π}{3}+2kπ≤2x≤\frac{2π}{3}+2kπ，k∈Z$，
即$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$，
∴函数f（x）的单调递增区间为$[{-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ}]，k∈Z$；
（Ⅱ）由$f（\frac{A}{2}）=\frac{3}{2}$，得$sin（{A-\frac{π}{6}}）+1=\frac{3}{2}$，
∴$sin（{A-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，
∴$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}+2kπ，k∈Z$ 或$A-\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}+2kπ，k∈Z$，
即$A=\frac{π}{3}+2kπ，k∈Z$，或A=π+2kπ，k∈Z，
∵0＜A＜π，∴$A=\frac{π}{3}$．
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，即4=b²+c²-bc，
∴${（b+c）^2}=4+3bc≤4+3{（{\frac{b+c}{2}}）^2}$，
即b+c≤4．
又∵b+c＞a=2，
∴2＜b+c≤4．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了三角形的解法，是中档题．