Question

已知椭圆C的中心为O，左焦点为F（-1，0），且过点（

3

，

3

2

）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P为椭圆上的任意一点，求

OP

•

FP

的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则c=1，即a²-b²=1，

3

a2

+

3

4b2

=1，解出即可得到；
（2）设P（2cosα，

3

sinα），运用向量的数量积的坐标公式，化简配方，再由余弦函数的图象和性质，即可得到最大值．

解答： 解：（1）设椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
则c=1，即a²-b²=1，

3

a2

+

3

4b2

=1，
解得，a²=4，b²=3，
则椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设P（2cosα，

3

sinα），
则

OP

•

FP

=（2cosα，

3

sinα）•（2cosα+1，

3

sinα），
=2cosα（2cosα+1）+3sin²α=cos²α+2cosα+3，
=（cosα+1）²+2，由于-1≤cosα≤1，
则cosα=1时，取得最大值，且为6．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查平面向量的数量积的坐标表示及三角函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．