Question

求满足下列条件的圆的方程
（1）求过点M（5，2），N（3，2）且圆心在直线y=2x-3上的圆的方程；
（2）过圆x²+y²-x+y-2=0和x²+y²=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程为．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）根据垂径定理可知圆心在线段MN的垂直平分线上，所以利用M与N的坐标求出垂直平分线的方程与已知直线y=2x-3联立即可求出圆心坐标，然后利用两点间的距离公式求出圆心到M的距离即可求出半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程．
（2）根据题意可设所求圆的方程为x²+y²-x+y-2+λ（x²+y²-5）=0（λ≠-1），再求出圆心坐标为 （

1

2(1+λ)

，-

1

2(1+λ)

），圆心在直线3x+4y-1=0上，所以将圆心的坐标代入中心方程可得λ的值，进而求出圆的方程．

解答： 解：（1）设圆心为（x，y），而圆心在线段MN的垂直平分线x=4上又圆心在直线y=2x-3上，
所以联立得

x=4 y=2x-3

，解得圆心为（4，5），r=

(5-4)2+(2-5)2

，
∴要求的圆的方程为（x-4）²+（y-5）²=10．
（2）设所求圆的方程为x²+y²-x+y-2+λ（x²+y²-5）=0（λ≠-1），
即整理可得，x²+y²-

1

1+λ

x+

1

1+λ

y-

2+5λ

1+λ

，
所以可知圆心坐标为（

1

2(1+λ)

，-

1

2(1+λ)

）．
因为圆心在直线3x+4y-1=0上，所以可得3×

1

2(1+λ)

-4×[-

1

2(1+λ)

]-1=0，解得λ=-

3

2

．
将λ=-

3

2

 代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：x²+y²+2x-2y-11=0．

点评：本题主要考查学生会求两条直线的交点坐标，会利用两点间的距离公式求线段的长，会根据圆心与半径写出圆的方程；还考查了圆与圆的位置关系，以及利用“圆系”方程的方法求圆的方程，属于基础题．