Question

17．已知函数f（x）=ax-lnx，g（x）=ln（x²-2x+a），
（1）若a=0，求F（x）=f（x）+g（x）的零点；
（2）设命题P：f（x）在[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]单调递减，q：g（x）的定义域为R，若p∧q为真命题，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）令F（x）=0，求出函数的零点即可；
（2）关于p：求出函数的导数，$a-\frac{1}{x}≤0$在$[{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}]$恒成立，求出a的范围，关于q：根据二次函数的性质求出a的范围，取交集即可．

解答 解（1）∵a=0，∴F（x）=ln（x²-2x）-lnx，
由F（x）=0得x²-2x=x，∴x=0或x=3，
又因为F（x）的定义域{x|x＞2}，
∴x=0舍去，
∴F（x）的零点为3；                               
（2）∵${f^'}（x）=a-\frac{1}{x}，且f（x）在[{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}]$递减，
∴$a-\frac{1}{x}≤0$在$[{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}]$恒成立，
∴a≤2，
又因为g（x）的定义域为R，
所以x²-2x+a＞0对一切实数恒成立，
∴4-4a＜0，∴a＞1，
∵p∧q为真，
∴1＜a≤2．

点评 本题考查了函数的零点问题，考查函数恒成立问题以及二次函数的性质，是一道中档题．