Question

【题目】已知函数．

（1）当时，直线与相切，求的值；

（2）若函数在内有且只有一个零点，求此时函数的单调区间；

（3）当时，若函数在上的最大值和最小值的和为1，求实数的值．

Answer 1

【答案】（1）； （2）单调递增区间为，,单调递减区间为； （3）.

【解析】

（1）由求出切点坐标，代入切线方程即可得结果；（2）先证明当时不合题意，当时，根据单调性可得，要使函数在内有且只有一个零点，则须，求得，进而可得结果；（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为，且,，分类讨论求出最大值与最小值，解方程即可得结果.

.

（1）,

则,所以，，

当，所以，解得.

（2），

由，得到，，

当时，在区间上恒成立，

即函数在区间上单调递增，

又因为函数的图象过点，即，

所以函数在内没有零点，不合题意，

当时，由得，即函数在区间上单调递增，

由得，即函数在区间在上单调递减，

且过点，要使函数在内有且只有一个零点，则须，

即，解得，

综上可得函数在内有且只有一个零点时，

此时函数的单调递增区间为，,单调递减区间为.

（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

此时函数有两个极值点，极大值为，极小值为，

且,.

①当即时，在上单调递增，在上单调递减，，

又即

所以，解得（舍）.

②当即时，在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增 即，所以.

若，即时，，所以，

解得（舍）.

若，即时，，所以，

解得.

综上，.