Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$-lnx，a∈R．
（I）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （I）求出a=2的函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到所求切线方程；
（II）求得函数的导数，讨论（i）若a≤0，（ii）若a＞0，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间．

解答 解：（I）当a=2时，f（x）=x²-lnx，
$f'（x）=2x-\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-1}}{x}$．
则f′（1）=1，f（1）=1，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为l：y-f（1）=f'（1）（x-1），
所以切线方程为l：x-y=0；
（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
$f'（x）=ax-\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}-1}}{x}$．
（i）若a≤0，f′（x）＜0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上单调递减．
（ii）若a＞0，令f′（x）=0，则$x=\sqrt{\frac{1}{a}}$．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x	$（0，\sqrt{\frac{1}{a}}）$	$\sqrt{\frac{1}{a}}$	$（\sqrt{\frac{1}{a}}，+∞）$
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以f（x）在$（0，\frac{{\sqrt{a}}}{a}）$上单调递减，在$（\frac{{\sqrt{a}}}{a}，+∞）$上单调递增．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键．