如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PB⊥底面ABCD,BC⊥AB,AD∥BC,AB=AD=2,CD⊥PD,异面直线PA和CD所成角等于60°.
(1)求证:面PCD⊥面PBD;
(2)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小;
(3)在棱PA上是否存在一点E,使得二面角A-BE-D的余弦值为?若存在,指出点E在棱PA上的位置,若不存在,说明理由.
(1)见解析(2)存在
【解析】(1)证明:PB⊥底面ABCD,∴PD⊥CD,
又∵CD⊥PD,PD∩PB=P,PD,PB?平面PBD.
∴CD⊥平面PBD,又CD?平面PCD,
∴平面PCD⊥平面PBD.
(2)如图,以B为原点,BA,BC,BP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
设BC=a,BP=b,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,a,0),
D(2,2,0),P(0,0,b).
∵=(2,2,-b),=(2,2-a,0),CD⊥PD,
∴·=0,∴4+4-2a=0,a=4,
又=(2,0,-b),=(2,-2,0),
异面直线PA和CD所成角等于60°,
∴=,
即=,解得b=2,
=(0,4,-2),=(0,2,0),=(2,0,-2).
设平面PAD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
则由得
取n1=(1,0,1),
∵sin θ===,∴直线PC和平面PAD所成角的正弦值为.
(3)解 假设存在,设=λ,且E(x,y,z),则(x,y,z-2)=λ(2,0,-2),E(2λ,0,2-2λ),设平面DEB的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
则由得
取n2=(λ-1,1-λ,λ),
又平面ABE的法向量n3=(0,1,0),
由cos θ==,得=,解得λ=或λ=2(不合题意).
∴存在这样的E点,E为棱PA上的靠近A的三等分点.
科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习体系通关训练倒数第10天练习卷(解析版) 题型:选择题
如图是一个算法的程序框图,当输入的x值为-9时,其输出的结果( ).
A.-9 B.1 C.3 D.6
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习体系通关训练3-x4练习卷(解析版) 题型:选择题
在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数,记为a,b,则方程=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为( ).
A. B. C. D.
答案
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习体系通关训练3-x1练习卷(解析版) 题型:选择题
已知两条不重合的直线m,n和两个不重合的平面α,β,有下列命题:
①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;②若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;③若m,n是两条异面直线,m?α,n?β,m∥β,n∥α,则α∥β;④若α⊥β,α∩β=m,n?β,n⊥m,则n⊥α;其中正确命题的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习体系通关训练3-x1练习卷(解析版) 题型:选择题
正四棱锥S-ABCD的侧棱长为,底面边长为,E为SA的中点,则异面直线BE和SC所成的角为( ).
A.30° B.45° C.60° D.90°
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习体系通关训练3-d3练习卷(解析版) 题型:解答题
已知抛物线C:y2=2px(p>0),M点的坐标为(12,8),N点在抛物线C上,且满足=,O为坐标原点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)以M点为起点的任意两条射线l1,l2的斜率乘积为1,并且l1与抛物线C交于A,B两点,l2与抛物线C交于D,E两点,线段AB,DE的中点分别为G,H两点.求证:直线GH过定点,并求出定点坐标.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习体系通关训练2-2练习卷(解析版) 题型:解答题
某次考试中,从甲,乙两个班各抽取10名学生的成绩进行统计分析,两班10名学生成绩的茎叶图如图所示,成绩不小于90分为及格.
(1)从每班抽取的学生中各抽取一人,求至少有一个及格的概率;
(2)从甲班10人中取两人,乙班10人中取一人,三人中及格人数记为X,求X的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习体系通关训练1-9练习卷(解析版) 题型:选择题
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AK|=|AF|,则A点的横坐标为( ).
A.2 B.3 C.2 D.4
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习体系通关训练1-7练习卷(解析版) 题型:选择题
设z=x+y,其中实数x,y满足若z的最大值为6,则z的最小值为( ).
A.-3 B.-2 C.-1 D.0
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