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如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PB底面ABCDBCABADBCABAD2CDPD,异面直线PACD所成角等于60°.

(1)求证:面PCDPBD

(2)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小;

(3)在棱PA上是否存在一点E,使得二面角A-BE-D的余弦值为?若存在,指出点E在棱PA上的位置,若不存在,说明理由.

 

1)见解析(2存在

【解析】(1)证明:PB底面ABCDPDCD

CDPDPDPBPPDPB?平面PBD.

CD平面PBD,又CD?平面PCD

平面PCD平面PBD.

(2)如图,以B为原点,BABCBP所在直线分别为xyz轴,建立空间直角坐标系,

BCaBPb,则B(0,0,0)A(2,0,0)C(0a,0)

D(2,2,0)P(0,0b)

(2,2,-b)(2,2a,0)CDPD

·0442a0a4

(2,0,-b)(2,-2,0)

异面直线PACD所成角等于60°

,解得b2

(0,4,-2)(0,2,0)(2,0,-2)

设平面PAD的一个法向量为n1(x1y1z1)

则由

n1(1,0,1)

sin θ直线PC和平面PAD所成角的正弦值为.

(3)解 假设存在,设λ,且E(xyz),则(xyz2)λ(2,0,-2)E(2λ0,22λ),设平面DEB的一个法向量为n2(x2y2z2)

则由

n2(λ1,1λλ)

又平面ABE的法向量n3(0,1,0)

cos θ,得,解得λλ2(不合题意)

存在这样的E点,E为棱PA上的靠近A的三等分点.

 

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