Question

【题目】如图，已知圆柱，底面半径为1，高为2，是圆柱的一个轴截面，动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点，其路径最短时在侧面留下的曲线记为：将轴截面绕着轴，逆时针旋转 角到位置，边与曲线相交于点.

（1）当时，求证：直线平面；

（2）当时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）法一：建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，求得平面的法向量，可得结论；

法二：由已知条件推导出AB⊥A1B1，AB⊥OO1，得到AB⊥平面A1B1C1D1，可得AB⊥B1D1，结合OP⊥B1D1由此能证明直线B1D1⊥平面PAB．

（2）以所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，分别求得两个面的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣AB﹣P的余弦值．

（1）方法一：当时，建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，，，，

，

，.

设平面的法向量为，则，

可取，得，，.

所以直线平面.

方法二：在正方形中，，，∴，

平面，又平面

所以，又，，，平面

所以直线平面.

（2）当时，以所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，所在的直线为轴建立如图空间直角坐标系，

可得，所以，

设平面的法向量为，则

，可取，得，

又平面的一个法向量为，则

所以二面角的余弦值为.