Question

17．已知点M（0，2），椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，椭圆E上一点G与椭圆长轴上的两个顶点A，B连线的斜率之积等于-$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点M的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的直线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设G点坐标，根据斜率公式求得G与椭圆长轴上的两个顶点A，B连线的斜率之积等于-$\frac{1}{4}$，求得a和b的关系，由2c=2$\sqrt{3}$．求得c=$\sqrt{3}$，利用椭圆的关系即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线方程，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨PQ丨，由点到直线的距离公式和三角形的面积公式求得△OPQ的面积，根据基本不等式的关系，求得△OPQ的面积最大值时的k的取值，即可求得直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）设G（x₀，y₀），则${y_0}^2=\frac{b^2}{a^2}（{a^2}-{x_0}^2）$，由条件知，$\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2-{a^2}}}=-\frac{1}{4}$，
即得$-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{1}{4}⇒{a^2}=4{b^2}$．…（2分）
又$2c=2\sqrt{3}⇒c=\sqrt{3}⇒{a^2}-{b^2}=3$，
∴a=2，b=1，
故椭圆E的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（5分）
（Ⅱ）当l⊥x轴时不合题意，故设直线l：y=kx+2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
将l：y=kx+2代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$得（1+4k²）x²+16kx+12=0，△=16（4k²-3）＞0．
x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
从而$|PQ|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{4{k^2}-3}}}{{4{k^2}+1}}$．
又点O到直线PQ的距离$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
∴△OPQ的面积$S=\frac{1}{2}d•|PQ|=\frac{{4\sqrt{4{k^2}-3}}}{{4{k^2}+1}}$．…（8分）
设$\sqrt{4{k^2}-3}=t＞0$，则t＞0，$S=\frac{4t}{{{t^2}+4}}=\frac{4}{{t+\frac{4}{t}}}≤\frac{4}{{2\sqrt{t•\frac{4}{t}}}}=1$．
当且仅当t=2即$k=±\frac{{\sqrt{7}}}{2}$时取等号，且$k=±\frac{{\sqrt{7}}}{2}$满足△＞0．…（10分）
∴当△OPQ的面积最大时，l的方程为$l：y=±\frac{{\sqrt{7}}}{2}x+2$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查斜率公式，韦达定理，点到直线的距离公式，三角形的面积公式及基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．