Question

8．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4≤0}\\{x-y≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域为D，点A（2，0），点B（1，0），在区域D内随机取一点M，则点M满足|MA|≥$\sqrt{2}$|MB|的概率是$\frac{3π}{16}$．

Answer 1

分析 利用已知条件求出点M的关系式，再利用不等式组表示的可行域，通过面积为测度，即可求出概率．

解答 解：设M（x，y），则点A（2，0），点B（1，0），在区域D内随机取一点M，则点M满足|MA|≥$\sqrt{2}$|MB|
∴（x-2）²+y²≥2（x-1）²+2y²，可得：
∴x²+y²≤2，
如图所示，由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，直角三角形的高为$\frac{4}{3}$，面积为$\frac{1}{2}×2×\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$，
圆落在三角形内的面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$，
∴|MA|≥$\sqrt{2}$|MB|的概率是$\frac{\frac{π}{4}}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3π}{16}$．
故答案为：$\frac{3π}{16}$．

点评 本题考查概率的计算，考查轨迹问题，正确求出M的轨迹是关键．