Question

12．已知：f（x）=x²+2f′（1）x，若f（x）＞0，则x的取值范围（-∞，0）∪（4，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意，对函数f（x）求导可得f′（x）=2x+2f′（1），令x=1可得，f′（1）=2+2f′（1），解可得f′（1）的值，解可得函数f（x）的解析式f（x）=x²-4x，不等式f（x）＞0，即x²-4x＞0，解可得x的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，对于函数f（x）=x²+2f′（1）x，
则其导数f′（x）=2x+2f′（1），
令x=1可得，则f′（1）=2+2f′（1），解可得f′（1）=-2，
则f（x）=x²-4x，
若f（x）＞0，即x²-4x＞0，
解可得x＜0或x＞4，
即x的取值范围是（-∞，0）∪（4，+∞），
故答案为：（-∞，0）∪（4，+∞）．

点评 本题考查导数的计算，一元二次不等式的解法，关键是求出f′（1）的值，确定函数的解析式．