Question

20．设函数f（x）=a（x+1）²ln（x+1）+bx（a，b∈R），曲线y=f（x）过点（e-1，e²-e+1）（e是自然对数的底数），且在点（0，0）处的切线方程为y=0．
（1）求a，b的值；
（2）证明：当x≥0时，f（x）≥x²．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（0）=0，f（e-1）=e²-e+1，求出a，b的值即可；
（2）设g（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-x²（x≥0），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．

解答 （1）解：f'（x）=2a（x+1）ln（x+1）+a（x+1）+b，
因为f'（0）=a+b=0，f（e-1）=ae²+b（e-1）=a（e²-e+1）=e²-e+1，
所以a=1，b=-1．
（2）证明：f（x）=（x+1）²ln（x+1）-x，
设g（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-x²（x≥0），
则m（x）=g'（x）=2（x+1）ln（x+1）-x，
m'（x）=2ln（x+1）+1＞0，
所以m（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以m（x）≥m（0）=0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以g（x）≥g（0）=0．
所以f（x）≥x²．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．