Question

1．已知函数f（x）=$\frac{alnx}{x}$+b（a，b∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（1）求实数a，b的值及函数f（x）的单调区间．
（2）当f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）时，比较x₁+x₂与2e（e为自然对数的底数）的大小．

Answer 1

分析 （1）根据导数几何意义即可求出a，b的值，根据导数和函数的单调性的关系即可求出，
（2）当f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）时，x₁+x₂＞2e，设1＜x₁＜e＜x₂，当x₂≥2e时，显然x₁+x₂＞2e，当e＜x₂＜2e时，构造函数，根据函数的单调性即可证明

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
∵函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=b=0}\\{f′（1）=a=1}\end{array}\right.$，
∴f（x）=$\frac{lnx}{x}$，定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$
∴x∈（0，e），f′（x）＞0，x∈（e，+∞），f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞）；
（2）当f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）时，x₁+x₂＞2e，
下面证明结论，
当x＞e时，f（x）=$\frac{lnx}{x}$＞0，由（1）可知f（x）的单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞），
又f（1）=0，
∴若f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），则x₁，x₂都大于1，且必有一个小于e，一个大于e，
设1＜x₁＜e＜x₂，
当x₂≥2e时，显然x₁+x₂＞2e，
当e＜x₂＜2e时，
∴f（x₁）-f（2e-x₂）=f（x₂）-f（2e-x₂）=$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$-$\frac{ln（2e-{x}_{2}）}{2e-{x}_{2}}$，
设g（x）=$\frac{lnx}{x}$-$\frac{ln（2e-x）}{2e-x}$，e＜x＜2e，
∴g′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}（2e-x）^{2}}$•{4e（e-x）（1-lnx）+x²[（2-ln（-（x-e）²+e²]}，
∵e＜x＜2e，
∴0＜-（x-e）²+e²＜e²，
∴2-ln（-（x-e）²+e²＞0
∵4e（e-x）（1-lnx）＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（e，2e）上单调递增，
∴g（x）＞g（e）=0，
∴f（x₁）＞f（2e-x₂），
∵1＜x₁＜e＜x₂，
∴0＜2e-x₂＜e，
∵f（x）在（0，e）上单调递增，
∴x₁＞2e-x₂，
∴x₁+x₂＞2e，
综上所述，当f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）时，x₁+x₂＞2e

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于难题