Question

20．棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为$\frac{{a}^{3}}{6}$．

Answer 1

分析 八面体为两个相等的正四棱锥的组合体，求出四棱锥的底面边长和高，代入体积公式即可得出．

解答 解：设正方体的各面中心为A，B，C，D，E，F，
∵正方体棱长为a，∴四边形BCDE是正方形，边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，AF=a，
∴V_A-BCDE=$\frac{1}{3}{S}_{正方形BCDE}•\frac{1}{2}AF$=$\frac{1}{3}×$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²×$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{12}$a³，
∴八面体的体积V=2V_A-BCDE=$\frac{{a}^{3}}{6}$．
故答案为：$\frac{{a}^{3}}{6}$．

点评 本题考查了棱锥，正方体的结构特征，体积计算，属于中档题．