Question

已知a＞0且a≠1，f（x）=

1

ax+ a

（1）求值：f（0）+f（1），f（-1）+f（2）；
（2）由（1）的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式，并加以证明；
（3）若a∈N^*，求和：f（-（n-1））+f（-（n-2））+…+f（-1）+f（0）+…f（n）．

Answer 1

考点：数学归纳法,函数的值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）直接代入，即可求值；
（2）由（1）归纳f（x）+f（1-x）=

a

a

，再进行证明；
（3）利用倒序相加法，即可求解．

解答： 解：（1）f（0）+f（1）=

1

1+ a

+

1

a+ a

=

1

a

=

a

a

，
f（-1）+f（2）=

1

a-1+ a

+

1

a2+ a

=

1

a

=

a

a

；
（2）由（1）归纳f（x）+f（1-x）=

a

a

，证明如下：
f（x）+f（1-x）=

1

ax+ a

+

1

a1-x+ a

=

1

ax+ a

+

ax

a ( a +ax)

=

a

a

，
（3）S=f（-（n-1））+f（-（n-2））+…+f（-1）+f（0）+…f（n）
∴Sf（n）+f（n-1））+…+f（-（n-1）+f（-（n-2））．
两式相加可得2S=2n•

a

a

，
∴S=

n a

a

．

点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数性质的合理运用．