Question

设数列{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，己知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=lna_2n+1，n=1，2，3…，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出等比数列的公比，由已知列首项和公比的方程组，求解方程组得首项和公比，然后代入等比数列的通项公式得答案；
（2）把a_2n+1代入b_n=lna_2n+1，得到数列{b_n}是等差数列，然后利用等差数列的前n项和公式得答案．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q（q＞1），
由已知得

a1+a1q+a1q2=7 a1+3+a1q2+4 2 =3a1q

，解得

a1=1 q=2

．
∴an=a1qn-1=2n-1；
（2）由b_n=lna_2n+1，得
bn=ln22n=2nln2，
b_n+1-b_n=2（n+1）ln2-2nln2=2ln2．
∴数列{b_n}是等差数列，
∴Tn=2nln2+

n(n-1)2ln2

2

=n(n+1)ln2．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是中档题．