Question

已知实数x，y满足（x-2）²+（y-1）²=1．
（1）求k=

y+1

x

的最大值；
（2）若x+y+m≥0恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）利用圆心到直线的距离d=

|2k-2|

k2+1

=1，求出k，即可得出k=

y+1

x

的最大值；
（2）x+y+m≥0，即要-m小于等于x+y恒成立，即-m小于等于x+y的最小值，由x与y满足的关系式为圆心为（2，1），半径为1的圆，可设x=2+cosα，y=1+sinα，代入x+y，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域可得出x+y的最小值，即可得到实数c的取值范围．

解答： 解：（1）k=

y+1

x

即kx-y-1=0，
由圆心到直线的距离d=

|2k-2|

k2+1

=1，可得k=

4± 7

3

，
∴k=

y+1

x

的最大值为

4+ 7

3

；
（2）∵实数x，y满足（x-2）²+（y-1）²=1，
∴设x=2+cosα，y=1+sinα，
则x+y=2+cosα+1+sinα=

2

sin（α+

π

4

）+3，
∵-1≤sin（α+

π

4

）≤1，
∴

2

sin（α+

π

4

）+3的最小值为3-

2

，
根据题意得：-m≤3-

2

，即m≥

2

-3．

点评：本题考查斜率的意义，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．