Question

机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．
(Ⅰ)写出y与x之间的函数关系式；
(Ⅱ)从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；
(Ⅲ)使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
(1)当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；
(2)当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．
请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ) ；（Ⅱ）从第3年开始盈利；（Ⅲ）方案Ⅰ比较合理.

解析试题分析：（Ⅰ）使用x年的总收入为，每年支付的维修保养费用构成一等差数列，由等差数列求和公式可得使用x年的总支出，总收入减去总支出便可得使用x年后数控机床的盈利额，从而得y与x之间的函数关系式.
（Ⅱ）解不等式便可得的范围，从而知道从从第几年开始盈利.
（Ⅲ)）(1)年平均盈利额为：
对可用重要不等式求出其最大值，从而可确定什么时候年平均盈利额达到最大值，可求出工厂获得的总利润．
(2)盈利额y=－2x²＋40x－98是一个二次函数，可通过配方求出其最大值，从而可确定什么时候盈利额达到最大值，可求出工厂获得的总利润．
将二者进行比较，便知哪个方案更合理．
试题解析：（Ⅰ）依题得（xN*）.    3分
（Ⅱ）解不等式得.
.又∵xN*,∴3≤x≤17，故从第3年开始盈利.     7分
（Ⅲ）(1)年平均盈利额为：
，当且仅当时，即x=7时等号成立．
所以到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元．
(2)盈利额y=－2x²＋40x－98=－(x－10)²＋102，当x=10时，y_max=102.
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元 .        
盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理．        12分
考点：1、函数的应用；2、函数的最值；3、重要不等式.