Question

已知函数f（x）=2sin⁴x+2cos⁴x+cos²2x-3．
（Ⅰ）求f(

π

16

)的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在闭区间[

π

16

，

3π

16

]上的最小值并求当取最小值时x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（I）化简可得f（x）=cos4x-1，代入即可求值；
（II）由x∈[

π

16

，

3π

16

]，可得4x∈[

π

4

，

3π

4

]，从而有-

2

2

-1≤f（x）≤

2

2

-1即可求得函数f（x）在闭区间上的最小值并当取最小值时x的值．

解答： （本小题满分12分）
解：f（x）=2sin⁴x+2cos⁴x+cos²2x-3=

(1-cos2x)2

2

+

(1+cos2x)2

2

+cos²2x-3=2cos²2x-2=cos4x-1，…（4分）
（I）f(

π

16

)=cos（4×

π

16

）-1=

2

2

-1；                 …（6分）
（II）∵x∈[

π

16

，

3π

16

]，4x∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴-

2

2

-1≤f（x）≤

2

2

-1
∴f(x)min=-

2 +2

2

，此时x=

3π

16

．…（12分）

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．