Question

函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数满足：
（1）f（x）在[a，b]内是单调函数；
（2）f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“和谐区间”，
下列函数中存在“和谐区间”的是

 

．
①f（x）=x²（x≥0）
②f（x）=2 x2-1+2x-1（x≥0）
③f（x）=x+

1

x

（x＞0）
④f（x）=

4x

x2+1

（x≥0）

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：①当x≥0时，f（x）=x²在[0，2]上是单调增函数，确定出f（x）在[0，2]上的值域是[0，4]，即可判断，
②转化为g（x）=f（x）-2x=2 x2-1-1（x≥0）g（x）在[0，+∞）单调递增，得出不可能有2个零点，判断出错误．
③则转化为g（x）=f（x）-2x=

1

x

-x，在[0，+∞）单调递减，不可能有2个零点，f（x）=2x不可能有2个非负根，故③错误．
④根据f（x）在[0，1]上的值域是[0，2]，可判断，正确．

解答： 解：①当x≥0时，f（x）=x²在[0，2]上是单调增函数，
且f（x）在[0，2]上的值域是[0，4]，
∴存在“和谐区间”，原命题正确；
②∵f（x）=2 x2-1+2x-1（x≥0）单调递增，
∴如果存在则

f(a)=2a f(b)=2b

即f（x）=2x有2个非负根，
令g（x）=f（x）-2x=2 x2-1-1（x≥0）
∵g（x）在[0，+∞）单调递增，
∴不可能有2个零点，
∴f（x）=2x不可能有2个非负根，故②错误．
③f（x）=x+

1

x

（x＞0）
如果存在则

f(a)=2a f(b)=2b

即f（x）=2x有2个非负根，
则g（x）=f（x）-2x=

1

x

-x，在[0，+∞）单调递减，
∴不可能有2个零点，
∴f（x）=2x不可能有2个非负根，故③错误．
④当x≥0时，f（x）=

4x

x2+1

=

4

x+ 1 x

≤2在[0，1]上是单调增函数，
且f（x）在[0，1]上的值域是[0，2]，
∴存在“和谐区间”，原命题正确；
故答案为：①，④

点评：本题考查了新定义的题目，函数的零点，方程的根，属于中档题．