Question

a=c+1，a＞b＞c，则M=

1

a-b

+

2

b-c

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用已知转化为利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：∵a=c+1，a＞b＞c，∴a-b=c+1-b＞0，∴1＞b-c＞0．
令b-c=x，x∈（0，1）．
则M=

1

c+1-b

+

2

b-c

=

1

1-x

+

2

x

=f（x），
则f′（x）=

1

(1-x)2

-

2

x2

=

-x2+4x-2

(x2-x)2

=

-(x-2- 2 )(x-2+ 2 )

(x2-x)2

．
可得：当且仅当x=2-

2

时取得最小值3+2

2

．
∴f(x)∈[3+2

2

，+∞)．
故答案为：[3+2

2

，+∞)．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了转化方法和推理能力，属于难题．