Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^3}-2ax+1，x≥2\\{（a-1）^x}-7，x＜2\end{array}$是R上的增函数，则a的取值范围为（　　）

• A． （2，3]
• B． （2，3）
• C． [2，3]
• D． （2，6]

Answer 1

分析 根据分段函数的单调性的性质建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：要使函数是R上的增函数，
则满足当x＜2时，函数为增函数，参数a-1＞1，得a＞2，
当x≥2时，函数为增函数，此时函数的导数f′（x）=3x²-2a≥0恒成立，即a≤$\frac{3}{2}$x²，
∵x≥2，∴$\frac{3}{2}$x²≥6，则a≤6，
且f（2）≥（a-1）²-7，
即8-4a+1≥（a-1）²-7，
即（a-1）²≤16-4a，
即a²+2a-15≤0，
得-5≤a≤3，
综上$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a≤6}\\{-5≤a≤3}\end{array}\right.$得2＜a≤3，
故选：A

点评 本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式的关系是解决本题的关键．