Question

5．已知函数f（x）=|x-2|+|x+1|．
（I）解不等式f（x）＞6；
（Ⅱ）若f（x）＜|x+1|+|2x+6|+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式f（x）＞6的解集；
（II）由题意得，关于x的不等式|x-2|-|2x+6|＜m在R恒成立，求出左边的最大值，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（ I）x＜-1，不等式转化为-x+2-x-1＞6，解得x＜-2.5，∴x＜-2.5；
-1≤x≤2，不等式转化为-x+2+x+1＞6，无解；
x＞2，不等式转化为x-2+x+1＞6，解得x＞4，∴x＞4；
因此不等式解集为（-∞，-2.5]∪[4，+∞）．
（ II） 由题意得，关于x的不等式|x-2|-|2x+6|＜m在R恒成立，
|x-2|-|2x+6|=$\left\{\begin{array}{l}{x+8，x＜-3}\\{-3x-4，-3≤x≤2}\\{-x-8，x≥2}\end{array}\right.$，所以|x-2|-|2x+6|≤5，∴m＞5．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．