Question

（理）若函数f（x）=

x

1+x2

，又记：f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，3，…，则f₂₀₁₄（1）=

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件求出f_n（x）=

x

1+nx2

是表达式，然后直接代入求值即可．

解答： 解：∵f（x）=

x

1+x2

，
∴f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x））=

x 1+x2

1+( x 1+x2 )2

=

x 1+x2

1+2x2 1+x2

=

x

1+2x2

，
f₃（x）=f（f₂（x））=

x

1+3x2

，
则由归纳推理可得f_n（x）=

x

1+nx2

，
即f₂₀₁₄（1）=

1

1+2014

=

1

2015

，
故答案为：

1

2015

．

点评：本题主要考查函数值的计算，利用条件求出函数f_n（x）的表达式是解决本题的关键．