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    【题目】（本小题满分12分）设函数，其中，曲线过点，且在点处的切线方程为．

    （I）求的值；

    （II）证明：当时，；

    （III）若当时，恒成立，求实数的取值范围．

    【答案】（I），；（II）见解析；（III）.

    【解析】

    试题分析：（I）求函数的导数，由曲线过点可得，由在点处的切线方程为可得，列出方程组，解之即可；（II）令，求，得用导数求函数的单调性，求出函数的最小值，证即可；（III）设，由解之即可.

    试题解析： （I），∴，

    .

    ∴，.

    （II） .

    设，，，

    ，∴在上单调递增，

    ∴，∴在上单调递增，∴．

    ∴．

    （III）设，，

    由（2）中知，∴，

    ∴.

    ①当，即时，，∴在单调递增，∴成立.

    ②当，即时，.

    ，令，得.

    当时，，∴在上单调递减，∴，不成立.

    综上，.

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    规定：当食品中的有害微量元素的含量在时为一等品，在为二等品，20以上为劣质品.

    （1）用分层抽样的方法在两组数据中各抽取5个数据，再分别从这5个数据中各选取2个，求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率；

    （2）每生产一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣质品亏损20元，根据上表统计得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率，分别估计这两种食品为一等品、二等品、劣质品的概率，若分别从甲、乙食品中各抽取1件，设这两件食品给该厂带来的盈利为，求随机变量的分布列和数学期望.

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    【题目】已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．

    （1）求的方程；

    （2）设过点的动直线与相交于，两点，当的面积最大时，求的直线方程．

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    【题目】某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分别直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人．

    （I）求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间的人数；

    （II）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望．

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    【题目】已知直线（为参数），曲线（为参数）．

    （I）设与相交于两点，求；

    （II）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线．设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．

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    【题目】已知抛物线的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点 .

    （1）若在线段上，是的中点，证明；

    （2）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

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    【题目】重庆八中大学城校区与本部校区之间的驾车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量为500的样本进行统计，结果如下：

    （分钟）

    25

    30

    35

    40

    频数（次）

    100

    150

    200

    50

    以这500次驾车单程所需时间的频率代替某人1次驾车单程所需时间的概率．

    （1）求的分布列与；

    （2）某天有3位教师独自驾车从大学城校区返回本部校区，记表示这3位教师中驾车所用时间少于的人数，求的分布列与；

    （3）下周某天张老师将驾车从大学城校区出发，前往本部校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回大学城校区，求张老师从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过120分钟的概率．

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    【题目】已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.

    (1) 计算：① |a＋b|，② |4a－2b|；


    (2) 当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?

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