Question

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，
（Ⅰ）求证：直线AM∥平面PNC；
（Ⅱ）在AB上是否存在一点E，使CD⊥平面PDE，若存在，确定E的位置，并证明，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求三棱锥C-PDA的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在PC上去一点F，使PF=2FC，连接MF，NF，证明FM∥DC，AN∥DC，推出$MF\stackrel{∥}{=}AN$．得到AM∥NA
然后证明直线AM∥平面PNC．
（Ⅱ）证明CD⊥DE．CD⊥PD，利用直线与平面垂直的判定定理证明CD⊥平面PDE．
（Ⅲ）说明DE为点A到平面PDC的距离，求出底面面积，利用等体积法求解几何体的体积即可．

解答 （本小题共14分）
证明：（Ⅰ）在PC上去一点F，使PF=2FC，连接MF，NF，因为PM=2MD，AN=2NB，所以FM∥DC，$MF=\frac{2}{3}DC$，AN∥DC，AN=$\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}DC$，
所以$MF\stackrel{∥}{=}AN$．

所以MFNA为平行四边形
即AM∥NA
又AM?平面PNC
所以直线AM∥平面PNC…．（5分）
（Ⅱ）因为E是AB中点，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，所以∠AED=90°
因为AB∥CD，所以，∠EDC=90°即CD⊥DE．
又PD⊥平面ABCD，所以CD⊥PD
又DE∩PD=D所以直线CD⊥平面PDE…（11分）
（Ⅲ）直线AB∥DC，且由（Ⅱ）可知，DE为点A到平面PDC的距离，${S_{△PDC}}=\frac{1}{2}PD•DC=\frac{9}{2}$，$DE=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，${V_{C-PDA}}={V_{A-PDC}}=\frac{1}{3}{S_{△PDC}}•DE=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．…．（14分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理与直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力．