Question

已知双曲线

x2

9

-

y2

16

=1，其右焦点为F，P其上一点，点M满足|

.

MF

|=1，

.

MF

•

MP

=0，则|

MP

|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：数形结合,平面向量及应用,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：画出图形，结合图形，得出在Rt△FPM中，要使直角边|

MP

|最小，只需|

FP

|最小，求出|

FP

|的最小值，即得|

MP

|的最小值．

解答： 解：∵|

MF

|=1，∴点M是以点F（5，0）为圆心，1为半径的单位圆；
不妨设P为双曲线右支上的任一点，
∵

MF

•

MP

=0，∴

MF

⊥

MP

，
∴△PMF为直角三角形，且∠FMP=90°，|

FP

|为该直角三角形的斜边长；
∵P为双曲线

x2

9

-

y2

16

=1上的点，
在Rt△FPM中，要使直角边|

MP

|最小，由于|

MF

|=1，
只需|

FP

|最小，
∵当点P为双曲线C的右支与x轴的交点时，|

FP

|最小，此时P（3，0）．
∴|

MP

|=

(5-3)2-12

=

3

，如图所示；
∴|

MP

|的最小值为

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了双曲线的定义与几何性质的应用问题，考查了圆的定义与性质的应用问题，是综合题．