Question

4．已知抛物线C：y²=2px（0＜p＜4）的焦点为F，点P为C上一动点，A（4，0），B（p，$\sqrt{2}$p），且|PA|的最小值为$\sqrt{15}$，则|BF|等于（　　）

• A． 4
• B． $\frac{7}{2}$
• C． 5
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 设P点坐标，利用两点之间的距离公式及二次函数的性质，即可求得p的值，则B在抛物线上，根据抛物线的焦点弦公式，即可求得|BF|．

解答 解：设P（x，y）（x≥0，y²=2px），则|PA|=$\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-4）^{2}+2px}$=$\sqrt{{x}^{2}+（2p-8）x+16}$=$\sqrt{[（x+（p-4）]^{2}+16-（p-4）^{2}}$，
当x=4-p时，|PA|取得最小值等于$\sqrt{16-（p-4）^{2}}$=$\sqrt{15}$，化简得（p-4）²=1，
又∵0＜p＜4，则p=3，由（$\sqrt{2}$p）²=2p•p，
∴点B在抛物线C上，故|BF|=p+$\frac{p}{2}$=$\frac{3p}{2}$=$\frac{9}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点弦公式，考查二次函数的最值，考查计算能力，属于中档题．