Question

20．若α∈（$\frac{π}{2}$，π），则3cos2α=cos（$\frac{π}{4}$+α），则sin2α的值为（　　）

• A． $\frac{1}{18}$
• B． -$\frac{1}{18}$
• C． $\frac{17}{18}$
• D． -$\frac{17}{18}$

Answer 1

分析 由已知利用二倍角的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式化简可得3（cosα+sinα）（cosα-sinα）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα），由范围α∈（$\frac{π}{2}$，π），可得：cosα-sinα≠0，从而可求cosα+sinα=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解．

解答 解：∵3cos2α=cos（$\frac{π}{4}$+α），
∴3（cosα+sinα）（cosα-sinα）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα），
∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），可得：cosα-sinα≠0，
∴cosα+sinα=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
∴两边平方可得：1+sin2α=$\frac{1}{18}$，解得：sin2α=-$\frac{17}{18}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．