Question

【题目】已知数列的前项和为，且。

（1）证明：，并求的通项公式；

（2）构造数列求证：无论给定多么大的正整数，都必定存在一个，使.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由及，得。由，及，得。

下面用数学归纳法证明：，即 .①

（i）当时，由，，知①成立。

（ii）假设时，①成立，即，，有，约去得.移项并代入得

.②则 。

约去得.约去得，

移项并代入得.②由式②、③知，当时，①成立，综上得证式①成立。

合并得，这就证明了，且求出了通项。

（2）把代入，对有

。

因为 ，

所以，对于给定的正整数，存在一个，使 。

说明：第（1）问用公式可得 ，

但需，才能推出，

此解法特点是“证明，并求的通项公式”同时进行。

第（2）问的一个背景是调和级数发散，证明不是唯一的。