Question

5．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递减，若实数a满足f（log₃a）+f（${log}_{\frac{1}{3}}$a）≤2f（2），则a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{9}$，9]
• B． （-∞，$\frac{1}{9}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，2]
• D． （0，$\frac{1}{9}$]∪[9，+∞]

Answer 1

分析 根据对数的运算性质结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化即可得到结论．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（log₃a）+f（${log}_{\frac{1}{3}}$a）≤2f（2），等价为f（log₃a）+f（log₃a）≤2f（2），
即2f（log₃a）≤2f（2），则f（|log₃a|）≤f（2），
∵在[0，+∞）上单调递减，
∴|log₃a|≥2，
即log₃a≤-2或log₃a≥2，
∴0＜a≤$\frac{1}{9}$或a≥9．
故选：D．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．