Question

设函数（为自然对数的底数），

（1）证明：；

（2）当时，比较与的大小，并说明理由；

（3）证明：（）．

 

Answer 1

试题分析：（1）构造函数Φ（x）＝f（x）－g1（x），证明Φ（x）的最小值非负即可；（2）结合（1），利用数学归纳法，可以证明f（x）＞gn（x）;（3）先证，再叠加，然后由（2）得即可.

试题解析：（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】（1）证明：设，所以

当时，，当时，，当时，．

即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值

因为，所以对任意实数均有 ．即，

所以 4分

（2）【解析】
当时，．用数学归纳法证明如下：

①当时，由（1）知.

②假设当（）时，对任意均有，

令，，

因为对任意的正实数，，

由归纳假设知，．

即在上为增函数，亦即，

因为，所以．从而对任意，有．

即对任意，有．这就是说，当时，对任意，也有．由①、②知，当时，都有．

（3）证明1：先证对任意正整数，．

由（2）知，当时，对任意正整数，都有．令，得．所以．再证对任意正整数，

．

要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立．

即要证明对任意正整数，不等式（*）成立 10分

以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式

①当时，成立，所以不等式（*）成立．

②假设当（）时，不等式（*）成立，即． 11分

则．

因为

所以． 13分

这说明当时，不等式（*）也成立．由①、②知对任意正整数，不等式（*）都成立．

综上可知，对任意正整数，成立 14分

考点：利用导数研究函数的性质，不等式，数列求和